ساخت پاوپوینت با هوش مصنوعی
کم تر از 5 دقیقه با هوش مصنوعی کافه پاورپوینت ، پاورپوینت بسازید
برای شروع ساخت پاورپوینت کلیک کنید
شما در این مسیر هستید :خانه / محصولات /powerpoint / دانلود پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته (کد16140)
سفارش انجام پاورپوینت - بهترین کیفیت - کم ترین هزینه - تحویل در چند ساعت 09164470871 ای دی e2proir
دانلود پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته (کد16140)
شناسه محصول و کد فایل : 16140
نوع فایل : Powerpoint پاورپوینت
قابل ویرایش تمامی اسلاید ها دارای اسلاید مستر برای ویرایش سریع و راحت تر
امکان باز کردن فایل در موبایل - لپ تاپ - کامپیوتر و ...
با یک خرید میتوانید بین 342000 پاورپینت ، 25 پاورپوینت را به مدت 7 روز دانلود کنید
فایل های مشابه شاید از این ها هم خوشتان بیاید !!!!
دانلود پاورپوینت آموزش شیوه بازگرداندن فايلهاي فلش در مرورگر هاي مختلف بدون نياز به نرم افزار (کد16148)
دانلود پاورپوینت تحلیل اصول و مبانی تدریس علوم و بررسی تدریس گروهی به روش اعضای گروه (TMTD) (کد16146)
دانلود پاورپوینت تحلیل و بررسی شیوه جذب اتمی و ارزیابی روش های رایج آماده سازی نمونه جهت آنالیز فلزات سنگین (کد16144)
دانلود پاورپوینت تحلیل و بررسی مزایا و معایب آمپول ترکیبی پیشگیری از بارداری و بررسی عوارض آن (کد16142)
دانلود پاورپوینت آشنایی با انواع مطالعات و بررسی اپیدمیولوژی تجربی (Experimental Epidemiology) (کد16141)
دانلود پاورپوینت شناخت انواع زندگی شغلی ومقایسه انواع زندگی شغلی بر اساس ویژگیهای مختلف آنها وتعیین علائق و مهارتها (کد16134)
دانلود پاورپوینت بررسی خواص فیزیکی فلز کبالت وارزیابی ساختار فازی آلیاژهای دو تایی پایه کبالت (کد16131)
دانلود پاورپوینت آشنایی با مفهوم آلودگی هوا و بررسی اثرات آلودگی بر انسان و شیوه های کنترل آن (کد16130)
توضیحات محصول دانلود پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته (کد16140)
دانلود پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته
دانلود پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته
آمار و احتمال مهندسی
عنوان های پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته ، آمار و احتمال مهندسی عبارتند از :
مقدمه
فصل 1 : آمار توصیفی وارائه داده ها
فصل 2 : احتمال
فصل 3 : متغیر های تصادفی و توزیع آنها
فصل 4 : معرفی چند توزیع احتمال گسسته
فصل 5 : معرفی چند توزیع احتمال پیوسته
فصل 6 : استنباط آماری
فصل 7 : رگرسیون
تکه ها و قسمت های اتفاقی از فایل بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته ، آمار و احتمال مهندسی
بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته
2pro.ir
آمار و احتمال مهندسی
فهرست:
مقدمه
فصل 1 : آمار توصیفی وارائه داده ها
فصل 2 : احتمال
فصل 3 : متغیر های تصادفی و توزیع آنها
فصل 4 : معرفی چند توزیع احتمال گسسته
فصل 5 : معرفی چند توزیع احتمال پیوسته
فصل 6 : استنباط آماری
فصل 7 : رگرسیون
مقدمه:
کلمه آمار ابتدا به معنی مجموعه اطلاعاتی از جمعیت واقتصاد بود،
اینک، آمار از آن شروع ابتدایی ، به یک روش علمی تجزیه و تحلیل
که در تمام رشته های علوم اجتماعی ومهندسی و... به کار برده میشود،ترقی کرده است.
آمار شاخهای از علوم است که به نقش:
سازماندهی وخلاصه کردن
استنباط ونتیجه گیری در باره مجموعه ای از داده هاست ،وقتی که تنها بخشی از آن ها مشاهده شده اند.
درحقیقت آمار یک روش است که هدفش توصیف کردن است
و......
اگر یک نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسی باشد میانگین هندسی از رابطه زیر به دست می آید و با علامت G نمایش داده می شود:
میانگین هارمونیک
اگر یک نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسی باشد، میانگین هارمونیک از رابطه زیر بدست می آید و با علامت H نشان داده می شود.
یا
در یک کارگاه تراشکاری یک قطعه خاص به وسیله سه رایانه در زمان های ساعت تراش داده می شود. میانگین هارمونیک را محاسبه کنید.
میانگین پیراسته
میانگین پیراسته حالت خاصی از میانگین حسابی است به طوری که تعداد ار مشاهدات به علت نا هماهنگ بودن، از داده ها حذف می شود و میانگین حسابی برای داده ها باقی مانده محاسبه می شود. اگرk تا از مشاهدات حذف شده باشند میانگین پیراسته از رابطه زیر بدست می آید(k<n).
ميانه و ديگر چندك
به منظورجلوگيري از خطاي ايجاد شده توسط مقادير خيلي بزرگ يا كوچك ، گاهي اوقات بهتر است ”وسط“ يا ”مركز” يك مجموعه از داده را بوسيله اندازه‌هاي آماري ديگر به جز ميانگين توصيف كنيم .
تعريف : يكي از اين مقياس ها يعني ميانة n مقدار ما را ملزم مي‌سازد كه داده‌ها را بر حسب اندازة نمونه مرتب كنيم .
وقتي كه n فرداست ، ميانه برابر با وسط داده هاست .
وقتي كه n زوج است ، ميانه برابر با ميانگين دو عددي است كه نزديك وسط داده‌ها هستند.
در آمار چارك و صدك ها مهم هستند اما صدك ها به طور كلي در
مورد مجموعه‌هاي بزرگ به كار مي‌روند . بنابراين اكنون سه چارك به صورت زير معرفي مي كنيم .
:چارك اول ميانه تمام مقادير سمت چپ موقعيت ميانه تمام داده هاي مجموعه است .
:چارك دوم ، ميانه است .
:چارك سوم ، ميانه تمام مقادير سمت راست ميانه تمام داده هاي مجموعه است .
مثال : اعداد زير تعداد دقايقي است كه فردي در طول 14 روز بايد براي رفتن به محل كارش منتظر اتوبوس شود 10،2،17،1،16،8،3،10،2،9،5،9،13،10و 10 ، ميانه ، و بيابيد .
حل : براي موقعيت ميانه برابر است با ، بنابراين موقعيت
، و چهارمين مقدار از آخر مي‌باشد . هنگامي كه داده‌ها را براساس اندازه شان مرتب كنيم، داريم : 17،13،10،10،10،9،9،8،6،5،3،2،2و 1 .
ملاحظه مي‌كنيد كه ميانه برابر با و و مي‌باشد .
دامنه
« دامنه عبارتست از تفاوت کوچکترین مقدار و بزرگترین مقدار. »
توزيع هاي فراواني
يك جدول مانند جدول زیررا جدول توزيع فراواني و يا به طور ساده تري ، توزيع عددي مي نامند . اين جدول چگونگي توزيع سن 10 ميليون فرد دستگير شده را نشان مي‌دهد . اين مقادير داده‌ها بر طبق يك مقدار عدد (سن) طبقه‌بندي شده‌اند ، در بعضي از مثال ها اطلاعات را براساس مقياس هاي غير عددي مانند :
رنگ،ناحيه جغرافيايي، تشخيص پزشكي دسته بندي مي‌كنيم
نمايش نموداري
براي خلاصه كردن مجموعه‌هاي بزرگي از داده‌ها در يك شكل ساده ، آنها را اغلب به صورت نموداري نمايش مي‌دهيم . معمولترين شكل نمايش به صورت نموداري توزيع فراواني ، بافت نگار است.
نمودار ميله ای برای توزيع تعداد دفعاتی که 80 دانشجو در فعاليتهای فوق برنامه کانديد شده اند.
چند ضلعی فراوانی توزيع تعداد ساعاتی که 80 دانشجو در فعاليتهای فوق برنامه کانديد شده اند
نمودار دايره اي
نمودار وضعيت خانوارهای ارتشی سفيد پوست کشوری در سال 1982
اندازه نمونه ، معمولاً بوسيله حرف تعريف شده است . مقدار را در يك نمونه به صورت نشان می دهيم و می نويسيم :
ميانگين نمونه
اگر ميانگين نمونه باشد بنابراین:
ميانگين جامعه :
ميانگين موزون :
ميانگين كل داده هاي تركيب شده :
مثال : در ماه اخير ، سازمان ماهيگيري اعلام كرد كه
53،31،67،53 و 36 تخلف در صيد ماهي در 5 ناحيه متفاوت
اتفاق افتاده است . ميانة تعداد تخلفات براي ماه‌هاي اخير را پيدا كنيد:
حل : ابتدا اعداد را به ترتيب صعودي مرتب مي‌كنيم .
67،53،53،36،31
بنابراين ميانه برابر با 53 است
مُد
مُد يكي ديگر از مقياس هاي مكان است كه در بعضي مواقع براي توصيف وسط يك مجموعه از داده‌ها مقياس هاي مكان ديگري در كنار ميانگين ، ميانه و مد وجود دارند و سوالي كه كدام متوسط در يك موقعيت به‌خصوص بايد انتخاب شود همواره به راحتي پاسخ داده نمي‌شود . واقعيت اين است كه جادوي آمار مي‌تواند هر چيزي را ثابت كند .
مثال : نمونه‌اي از گزارش گرفته شده در سال جاري يك شركت وسايل نقليه موتوري حاكي ازآن است كه شانزده راننده در گروه‌هاي سني مشخص:
2،3،3،1،0،2،1،0،3،4،0،3،2،3و0وجود دارد ، مد را پيداكنيد.
حل :0 پنج بار، 1دو بار، 2سه بار، 3پنج بار، 4يك بار و 0و3 هركدام با بيشترين فراواني پنج بار تكرار شده‌اند ، بنابراين 2 مد وجود دارد .
مي‌توانيم نتيجه بگيريم كه هم تعداد رانندگان خوب و هم رانندگان ضعيف زياد است . و تعداد رانندگاني بين اين دو دسته وجود دارند كم است .
مقياس پراكندگي : انحراف معيار
براي معرفي انحراف معيار يكي از پركارترين مقياس پراكندگي بيان مي كنيم كه اگر مقادير در اطراف ميانگين متراكم باشند انحراف معيار كوچك و اگر از ميانگينشان دور باشند مقدارش بزرگ است . بنابراين به‌نظر قابل‌قبول مي‌رسد كه براي اندازه‌گيري پراكندگي داده‌ها در يك مجموعه ، تفاوتشان را از ميانگين محاسبه كنيم . اگر مجموعه‌اي از داده‌ها اعداد اعضاي يك جامعه با ميانگين باشد ، تفاوت بين انحراف از ميانگين ناميده مي‌شود .
انحراف معيار جامعه :
انحراف معيار نمونه :
فرمول براي استانداردكردن واحدها :
ضريب تغييرات :
هر جايي كه داده‌ها يك نمونه يا يك جامعه تشكيل مي‌دهند ، از فرمول صفحه قبل مي توان استفاده كرد . در اين قسمت بيان مي كند كه متغيرها چند ، انحراف معيار استاندارد بالاتر يا پايين تر از ميانگين مجموعه داده‌ها قرار مي‌گيرد . واحد استاندارد در قسمت بعدي به كار برده مي‌شود .
مثال : در طول چند ماه گذشته يك دونده با ميانگين 12 مايل درهفته با انحراف معيار استاندارد 2 مايل در حالي كه يك دونده ديگر با ميانگين 25 مايل در هفته با انحراف معيار استاندارد 3 مايل دويده است . كداميك از اين دو دونده سازگاري ارتباطي بيشتري با برنامة هفتگي دويدن دارد ؟
حل : دو ضريب تعيين به ترتيب :
پس دونده دوم سازگاري ارتباط بيشتري با برنامه هفتگي دويدن دارد .
فصل دوم
احتمال
هدف آموزشی فصل
در این فصل مبانی علم احتمال شرح داده شده است. مفاهیمی چون فضای نمونه، پیشامد و نیز اصول شمارش و جایگشت ها و ترکیب ها بیان شده است. و نیز مفهوم احتمال، تابع احتمال، اصل موضوع احتمال شرطی استقلال دو پیشامد قانون و احتمال کل توضیح داده می شود.
مفاهیم اولیه:
فضای نمونه : اگر نتیجه آزمایشی معین نباشد ، اما همه ی برآمدهای ممکن آن از قبل قابل پیش بینی باشد، مجموعه ی همه آنها را فضای نمونه ای نامیم و آن را معمولا با S وهمچنین برآمدها را با نشان میدهیم:
بنابراین فضای نمونه ای S:
و برآمدها e:
پیشامد : زیر مجموعه ای از فضای نمونه ای را یک پیشامد نامیم
توجه شودکه: برآمدها (e) می توانند به صورت یک نقطه تنها یا دو تایی مرتب ویا ... n تایی مرتب باشند :به مثالهای زیر توجه شود.
مثال :
1- پرتاب سکه :
2- پرتاب تاس : ...
3- پرتاب دو سکه :
4- پرتاب سه سکه :
5- فرض کنید آزمایشی دردومرحله انجام شود.ابتدا سکه ای پرتاب
می شود.اگر خط بیاید، تاس پرتاب می شود واگر شیر بیاید ، سکه
دوباره پرتاب می شود.فضای نمونه ای را تعریف کرده وپیشامدهای
زیر را تعریف کنید .الف. آمدن شیردراولین پرتاب
ب. آمدن عددی فرد وقتی تاس پرتاب شود .
حل :
الف.
ب.
6- فرض کنید سکه ای را آنقدر پرتاب می کنیم تا اولین شیر ظاهر شود .فضای نمونه ای را مشخص کنید .
حل : این فضای نمونه ای نامتناهی ولیکن شمارا است . چنین فضای نمونه ای را فضای نمونه ای گسسته نامیم .
اما مثال های 1 تا 5 ، دارای فضای نمونه ای متناهی می باشند .
7- فرض کنید فضای نمونه ای عبارتست از : اندازه گیری طول عمر یک لامپ بنابراین داریم:
A: پیشامد این که عمر یک لامپ حداقل 100 ساعت باشد
B: پیشامد آن است که عمر لامپ حداکثر 1000 ساعت باشد
C: پیشامد آن است که عمر لامپ دقیقا 505 ساعت باشد
این فضای نمونه ای ، یک فضای پیوستار است . به عبارت دیگر چنین فضای نمونه ای را ، فضای نمونه از نوع پیوسته گوییم .
فضای نمونه پیوسته وقتی رخ می دهد که برآمدهای آزمایش ها ،
اندازه گیری هایی با ویژگی های فیزیکی هستند که بر طبق مقیاس
های پیوسته اندازه گیری می شوند . مانند : طول ، دما و ...
می توانیم بر اساس پیشامد ها ، ترکیبی از پیشامد ها را داشته
باشیم.
ترکیب پیشامدها
1- مکمل( متمم) : مکمل پیشامد یعنی وقتی رخ می دهد که پیشامد رخ ندهد .
2- اجتماع : اجتماع دو پیشامد یعنی پیشامدی است که وقتی رخ دهد که حداقل یکی رخ دهد .
3- اشتراک : اشتراک دو پیشامد یعنی ( یا ) وقتی رخ می دهد که هر دو رخ دهند .
4- زیر پیشامد : پیشامد را زیرمجموعه ی گوئیم اگر
رخ دادن مستلزم رخ دادن باشد .
5- ناسازگاری : دو پیشامد را ناسازگار گوییم هرگاه با هم رخ ندهند . یعنی :
6- تعمیم : مجموعه ی پیشامدهای را دوبدو ناسازگار گوییم هرگاه :
7- پیشامد مطمئن : پیش آمدی که یقینا رخ دهد .
8- پیشامد ناممکن : پیشامدی که یقینا رخ ندهد .
9- تساوی : دو پیشامد را برابر گوییم ، هر گاه رخ دادن یکی مستلزم رخ دادن دیگری باشد .
نمادها
قوانین دمورگان
مثال :فرض کنید فرود هواپیماها بر اساس نظام سرویس دهی به ترتیب
فرود می باشد . پیشامدهای را به صورت زیر تعریف می کنیم :
منتظر ماندن حداکثر3هواپیما : منتظر ماندن حداقل2هواپیما :
منتظر ماندن دقیقا2هواپیما : در این صورت تعریف کنید:
الف. ؟ ب. ؟ ج. چه رابطه ای بین وجود دارد ؟
د. چه رابطه ای بین وجود دارد ؟ هـ. چه رابطه ای دارند ؟
حل :
پیشامد های زیررا تعریف می کنیم:
الف. پیشامد منتظر ماندن حداکثر3هواپیما
ب. پیشامد منتظر ماندن حداقل4هواپیما
ج.
د. ناسازگارند
هـ. ناسازگارند
اکنون آماده ایم تا اصول موضوع احتمال را بیان کنیم .
اصول موضوع احتمال
فرض می کنیم S فضای نمونه ای یک آزمایش باشد . به هر پیشامد A از S عددی به نام احتمال وقوع A که با نماد p(A) نشان می دهیم ، نسبت داده که در اصول موضوع زیر صدق می کند .
1) 2)
3) اگر دنباله ای از پیشامدهای دو به دو ناسازگار باشند
آن گاه :
مثال :
سکه ی نااریبی را پرتاب می کنیم . از آن جایی که سکه نااریب است ، بنابراین احتمال آمدن شیر و خط با هم برابر است . در پرتاب این سکه فضای نمونه ای برابر است با :
چون وقوع پیشامدهای با هم برابرند در این صورت گوییم این دو پیشامد هم احتمالند و می نویسیم :
از طرفی این دو پیشامد ناسازگارند ، پس :
مثال :
فرض کنیم S فضای نمونه ای مربوط به آزمایش سه بار پرتاب یک سکه سالم باشد .
فرض می کنیم پیشامد A پیشامد آمدن حداقل دو شیر باشد . پس :
با توجه به اینکه سکه سالم فرض شده است ، نتیجه می گیریم احتمال رخ دادن پیشامدها با هم برابرند .
یعنی هر یک از برآوردهای فضای نمونه ای
به همین ترتیب در مورد پیشامد A احتمال هر یک از پیشامدها برابرمی شود . بنابراین :
با توجه به مثالهای بالا ، نتیجه می گیریم :
به طور کلی اگر فضای نمونه ای S شامل N برآمد باشد و A پیشامدی از آن با n(A) برآمد باشد ، آن گاه :
مثال :
فرض کنید برآمدهای یک آزمایش باشد که تعداد آن ها نامتناهی است ، تحقیق کنید آیا می تواند یک اندازه احتمال قابل قبول باشد .
حل : می دانیم که:
بنا بر اصل 1 باید که برای این مثال برقرار است.
از طرفی باید در اینجا داریم:
بنا براین می تواند یک اندازه قابل قبول باشد.
قضایا :
داریم :
1)
اگر داشته باشیم :
اگر داشته باشیم :
2) اگر آن گاه :
نتیجه :
اگر آن گاه :
چون
قضیه :
3)
در صورتی که Aو B ناسازگار باشند ، آن گاه :
داریم :
با توجه به اینکه سمت راست ناسازگارند ، داریم :
از طرفی پس طبق قضیه قبل :
این قضیه را می توانیم برای n پیشامد تعمیم دهیم . مثلا برای 3
پیشامد :
مثال :
فرض کنید 25% مردم یک شهر روزنامه A و 20% روزنامه B و 13% روزنامه C و 10% روزنامه های A,B و 8% روزنامه های A,C و 5% روزنامه های B,C و 4% همه ی روزنامه ها را می خوانند . احتمال این که شخصی به تصادف از بین مردم این شهر انتخاب شود و هیچ یک از این روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟
حل :
فرض می کنیم E و F و G به ترتیب پیشامدهای خواندن روزنامه های A ، B و C باشند . پس پیشامد آن که شخصی حداقل یکی را بخواند عبارتست از :
بنابراین : عبارتست از احتمال این که هیچ یک از روزنامه ها را نخواند .
احتمال شرطی :
فرض کنید پیشامدی مانند B رخ داده است .
احتمال وقوع A به شرط B که با نماد p(A|B) نشان می دهیم عبارتست از :
داریم :
( قانون ضرب احتمال )
به محض آن که A و B مستقل از یکدیگر باشند ، رابطه بالا به صورت ساده ای تبدیل می شود :
استقلال :
پیشامد A را از B مستقل گوییم هر گاه :
بدین ترتیب نتیجه می گیریم وقتی A و B مستقل باشند :
فرمولهایی که برای جمع و ضرب بیان کردیم ، به صورت زیرخلاصه می کنیم.
جمع :
(A وB نا سازگار باشند)
ضرب :
(A وB مستقل باشند)
مثال :
فرض کنید جعبه ای شامل 10 لامپ می باشد که دربین آن ها 4 لامپ معیوب وجود دارد . دو لامپ پشت سر هم و بدون جایگذاری استخراج می کنیم . احتمال این که هر دو لامپ معیوب باشند چقدر است ؟
حل :
اولی ناسالم :A دومی ناسالم :B
قانون احتمال کل – قضیه بیز :
گاهی اوقات به طور مستقیم نمی توانیم احتمال یک پیشامد مانند A را محاسبه کنیم . اما برای پیشامدی مانند B احتمالات و امکان پذیر است . در اینگونه موارد برای محاسبه می توانیم از قضیه مهمی به نام احتمال کل استفاده کنیم .
این قضیه به صورت زیر بیان می شود :
فرض کنید B پیشامدی باشد به طوری که و آن گاه برای هر پیشامد A از S داریم :
اثبات :
مطابق شکل فرض می کنیم S فضای نمونه ای باشد . داریم :
مثال :
فرض می کنیم برای پیشامدهای A و B داشته باشیم :
و و . مطلوب است محاسبه
حل :
به طور کلی فرض می کنیم فضای نمونه ای S به افراز شده باشد .
یادآوری : را افرازی برای S گوییم هرگاه :
1)
2)
3)
در این صورت برای هر پیشامد دلخواه مانند A از S داریم :
مثال: فرض می کنیم به ترتیب 30% و 50% و 20% محصولات یک تولیدی بوسیله ی سه دستگاه A ، B وC تولید می شود . از طرفی معلوم شده است که به ترتیب 4% ، 5% و 3% این تولیدات ناقص می باشد . اگر محصولی به تصادف انتخاب شود احتمال این که معیوب باشد چقدر است ؟
حل :
احتمال پیشامد خراب بودن : p(D)
اکنون ممکن است این سئوال را مطرح کنیم : احتمال آن که محصول انتخابی معیوب باشد و توسط دستگاه B تولید شده باشد چقدر است ؟
دراین حالت در حقیقت می خواهیم p(B|D) را مورد نظر قرار دهیم
دراین حالت از قضیه ی موسوم به قضیه بیز استفاده می کنیم .
قضیه بیز :
فرض کنید افرازی از S باشد به طوریکه به ازاء . باشد.آنگاه برای هر پیشامد دلخواه A ازS داریم :
اثبات :
مثال :
1- برای مثال قبل مطلوب است احتمال اینکه محصولی که به تصادف انتخاب می شود و معیوب است ، متعلق به دستگاه C باشد .
حل :
2- فرض کنید می دانیم80% دانشجویان سال سوم و70% دانشجویان سال دوم و50% دانشجویان سال اول و30% دانشجویان پیش دانشگاهی ازکتابخانه استفاده می کنند. اگرازهمه ی دانشجویان 30% پیش دانشگاهی ، 25% سال اول ، 25% سال دوم و20% سال سوم باشند ، در اینصورت چند درصد همه ی دانشجویان از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کنند ؟
حل :
دانشجویی که به تصادف انتخاب می شود و از کتابخانه ی مرکزی استفاده می کند :A
پیش دانشگاهی : F
سال اول :O
سال دوم :J
سال سوم :E
آنالیز ترکیبی :
مجموعه روش ها و تکنیک هایی که برای شمارش بکار می روند ،
موضوع آنالیز ترکیبی را تشکیل می دهند .
یکی از موضوعات اساسی در آنالیز ترکیبی اصل های جمع و ضرب است که در عین سادگی اهمیت و کاربرد دارند . بعد از این دو اصل ، موضوع ترتیب و ترکیب از موضوعات پرکاربردند که ما در این قسمت خلاصه ای از آن ها را بیان می کنیم .
اصل جمع
اگر یک عمل به m طریق و عمل دیگر به n طریق انجام شود ، در این صورت یکی از دو عمل را می توان به m+n طریق انجام داد .
بیان ریاضی اصل جمع :
فرض کنید مجموعه A دارای n عضور و مجموعه B دارای m عضو باشد .
اگر در این صورت دارای n+m عضو خواهد بود .
تعمیم اصل جمع
اگر عمل به صورت ، عمل به صورت و ... و عمل
به صورت امکان پذیر باشد ، آن گاه انجام یکی از این اعمال به
صورت امکان پذیر است .
اصل ضرب
فرض کنید عملی در دو مرحله انجام می پذیرد . به طوری که مرحله اول را به صورت و مرحله دوم به صورت انجام داد . در این صورت آن عمل به صورت امکان می پذیرد .همین طور می توان اصل ضرب را تعمیم داد و بیان کرد : اگر عملی در k مرحله انجام شود ، به طوریکه مرحله اول صورت و ... و مرحله k ام صورت انجام شود در این صورت این عمل به صورت انجام می گیرد .
مثال :
برای انتخاب دو کتاب از دو رشته مختلف از بین 6 کتاب ریاضی ، 7 کتاب ادبی ، 12 کتاب فلسفی انتخاب می کنیم . چند انتخاب متفاوت خواهیم داشت ؟
حل :
کتاب ها ممکن است به صورت های: الف. ریاضی و ادبی
ب. ریاضی و فلسفی ج. ادبی و فلسفی باشند ، که با توجه به بیان اصل ضرب خواهیم داشت :
الف. ریاضی و ادبی 42=7×6
ب. ریاضی و فلسفی 72=12×6
ج. ادبی و فلسفی 84=12×7
و بنابر اصل جمع در کل تعداد انتخاب ها برابر است با : 198=84+72+42
ترتیب
هدف ما از ترتیب ، انتخاب گروه های k تایی از میان n عضو
متمایز است :
به طوری که باشد . مثل انتخاب گروه های 3 تایی از میان 5 عدد 2و4و5و7و9 به طوری که ارقام تکراری نباشند .
ترتیب n شیء r به r اگر n و r اعداد طبیعی باشند و آن گاه :
این قضیه برای انتخاب گروه های r تایی مرتب از n شیء متمایز است .لازم
به ذکر است که تمایز در این جا به این معناست که
1) مجموعه اشیاء بکار رفته متمایز باشند
2) ترتیب قرار گرفتن اشیاء متفاوت باشد .
ترکیب
برای انتخاب r شیء متمایز از n شیء متمایز از ترکیب استفاده می کنیم.لازم است که یادآور شویم که تمایز در ترکیب فقط به این معناست که مجموعه اشیائی که بکار رفته متمایز باشند .
ترکیب n شیء r به r
به ازای اعداد طبیعی n و r ، داریم :
ویژگی های ترکیب n شیء r به r
1- 2-
3-
فصل سوم
متغیر های تصادفی و توزیع آنها
هدف آموزشی فصل
در این فصل ضمن تعریف متغیر تصادفی و بر حسب این که متغیر تصادفی از نوع گسسته یا پیوسته باشد یک قالب احتمال ارائه می شود. تابع چگالی احتمال، تابع توزیع، تابع چگالی احتمال توام، تابع توزیع توام و... از مفاهیم تعریف شده در این فصل می باشد. در پایان نیز با تعریف گشتاورها و تابع مولد احتمال، میانگین واریانس، و برجستگی در جامعه تعریف می شود.
متغیرهای تصادفی و توزیع آن ها
فرض کنید که X قانونی باشد که اگر سکه ای پرتاب شود و شیر بیاید ، X را برابر یک تعریف کنیم و اگر خط بیاید X را برابر صفر تعریف کنیم تعریف :
تابع حقیقی مقدار X را که روی S ( فضای نمونه ای ) تعریف شده است ، یک متغیر تصادفی گوییم .
متغیرهای تصادفی را با X ، Y ، Z و ... و مقادیر آن ها را با x ، y و ... نشان می دهیم .
مثال :
1- به جای مثلا ( شیر بیاید ) p می نویسیم :
2- به جای آن که بگوییم ( خط بیاید ) p می نویسیم :
به طور کلی اگر بنویسیم یعنی احتمال آنکه X مقدار x را اختیارکند .
متغیرهای تصادفی می توانند گسسته یا پیوسته باشند .
گسسته وقتی که فضای نمونه ای متناهی یا نامتناهی شمارا باشد .
در غیر اینصورت متغیر تصادفی از نوع پیوسته است .
1- متغیرهای تصادفی گسسته – توزیع آن ها
در حالت گسسته احتمال ها بوسیله ی تابعی به نام تابع احتمال معرفی می شوند که عبارتست از مثلا
بنابر اصول موضوع احتمال و به سبب برابری با وقتی
یک تابع احتمال است که :
1- در حوزه
2-
توضیع های احتمال را به صورت های گوناگون میتوان نشان داد:
راه اول: به صورت جدول مانند مثال زیر:
مثال : فرض می کنیم داده های زیررا داشته باشیم،آیا توزیع
احتمال برقراراست ؟
حل :
1) داریم:
اصل اول برقرار است ( )
2)
بنابراین ، اصول موضوع برقرار است و پاسخ مثبت است.
به این ترتیب یکی از راه های توزیع احتمال به صورت جدول می باشد . مانند مثال فوق .
راه دوم : به صورت نموداری مانند شکل زیر:
راه سوم : فرمول ریاضی
مانند توجه شود برای سایر مقادیر x که f(x) تعریف نمی شود آن را برابر صفر قرار می دهیم . به این ترتیب می توانیم تابع احتمال بالا را به صورت زیر بنویسید :
مثال : مقدار c را طوری تعیین کنید تا تابع یک تابع احتمال باشد .
حل :1- پس باید
2-
این رابطه هنگامی برقراراست که سری همگرا باشد . آن را به سری هندسی تبدیل می کنیم .
مثال : مقدار c را طوری تعیین کنید تا یک تابع احتمال باشد
حل :
1- پس
2- این سری باید همگرا باشد .
اما این سری هارمونیک و واگرا است . پس این تابع به ازاء هیچ مقداری از c نمی تواند تابع احتمال باشد .
تابع توزیع
گاهی اوقات مایلیم احتمالاتی به صورت را محاسبه کنیم . در حالت کلی این احتمالات تابعی از x می باشد . که آن را تابع توزیع x می نامیم و با نشان می دهیم .
بنابراین می توانیم بنویسیم :
مثال : اگر تابع احتمال X به صورت زیر باشد ، F(2) را بدست آورید .
حل :
خصوصیات تابع توزیع
1- F(x) تابعی غیر نزولی است .
2- شکل F(x) تابعی پله ای شکل است .
3- و
پس :
امید ریاضی
تعریف : امید ریاضی ( مقدار مورد انتظار ) متغیر تصادفی X با تابع احتمال
f(x) در صورت وجود عبارتست از :
این امید ریاضی را میانگین X می نامیم و با یا نشان می دهیم .
مثال : فرض کنید تابع احتمال X عبارتست از : . امید ریاضی X را حساب کنید .
حل :
خصوصیات امید ریاضی
1- ( k عدد ثابت است )
زیرا :
2-
مثال :
اثبات :
از 1 و 2 می توانیم بنویسیم :
بدین ترتیب می توانیم نتیجه کلی زیر را بگیریم :
مثال :
بدین ترتیب نتیجه می گیریم که یک عملگر خطی است .
برخی امیدهای خاص
1- : در آن صورت امید ریاضی آن را در صورت وجود میانگین X می نامیم و می نویسیم :
2-
امید ریاضی آن را واریانس X می نامیم و می نویسیم .
فرمول محاسباتی واریانس
مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارت است از : واریانس X را از هر دو روش حل کنید .
حل :
روش اول :
روش دوم :
تعریف : جذر مثبت واریانس را انحراف معیار می نامیم و با نشان می دهیم
خواص واریانس
مثال :
نتیجه :
3-
اگر امید ریاضی این تابع وجود داشته باشد ، آن را گشتاور مرتبه r ام می
نامیم و با نشان می دهیم .
یعنی گشتاور مرتبه اول همان میانگین توزیع است .
در برابر این گشتاورها ، گشتاورهای حول میانگین را معرفی می کنیم که عبارتست از :
4- تابع مولد گشتاورها
اگر که آن گاه امید ریاضی آن را در صورت وجود تابع مولد گشتاورها می نامیم و می نویسیم :
با توجه به اینکه می توانیم مشتقات را در همسایگی (حول) صفر حساب کنیم .
اکنون مشتق دوم را حساب می کنیم :
گشتاور مرتبه دوم
به طور کلی داریم :
مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارتست از :
تابع مولد گشتاورهای x و واریانس را حساب کنید .
حل :
فرض کنید بخواهیم میانگین x را حساب کنیم ، داریم :
برای محاسبه واریانس داریم :
مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارت است از :
تابع مولد گشتاورها را محاسبه نموده و با استفاده از آن و را محاسبه
کنید .حل :
مثال : فرض می کنیم تابع احتمال X عبارت است از :
میانگین X و واریانس آن را حساب کنید .
حل : راه اول :
راه دوم :
فصل چهارم
معرفی چند توزیع احتمال گسسته
هدف آموزشی فصل
هدف این فصل معرفی چند توزیع احتمال خاص از نوع گسسته و پیوسته با ارائه الگو می باشد. با ارائه فرم تابع چگالی احتمال هر توزیع چند ویژگی توزیع نیز مورد بحث قرار می گیرد.
توزیع برنولی
آزمایش برنولی : عبارت است از آزمایشی که دارای 2 نتیجه ، یکی
به نام موفقیت و دیگری شکست باشد .موفقیت : s شکست : f
فرض می کنیم X متغیر تصادفی وابسته به این آزمایش باشد ؛ آنگاه :
اگر موفقیت اگر شکست
احتمال موفقیت را p می نامیم . پس احتمال شکست q=1-p . در اینصورت تابع احتمال برنولی عبارت است از :
این تابع احتمال را می توان به صورت زیر نوشت :
تعریف : گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع برنولی است هرگاه
تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :
ثابت می کنیم بنا به اصول موضوع واقعا f(x) بالا می تواند یک تابع احتمال باشد .
مسئله :
1- میانگین برنولی :
2- واریانس :
3- مطلوبست محاسبه تابع مولد گشتاورها :
مثال : اگر در ریختن یک تاس سالم آمدن عدد 4 یا 6 را موفقیت بنامیم و بقیه حالت ها را شکست به حساب آوریم ، واریانس توزیع را حساب کنید .
حل :
توزیع دوجمله ای
اگر امتحان های برنولی را n بار و همه با احتمال موفقیت p به طور
مستقل ازیکدیگر انجام شوند ، آنگاه X تعداد موفقیت ها دارای توزیعی
به نام توزیع دوجمله ای می نامیم .
اگر X دارای توزیع دوجمله ای باشد ، می نویسیم :
می خوانیم X دارای توزیع دوجمله ای است با پارامترهای n و p .
اکنون تعریف می کنیم :
گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع دوجمله ای با پارامترهای n و p می باشد هر گاه تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :
ثابت می کنیم تابع بالا واقعا تابع احتمال است :
از بسط دوجمله ای :
با مقایسه این دو فرمول قرار می دهیم : a=p و b=1-p
مثال : احتمال آمدن پنج شیر و هفت خط در 12 بار پرتاب یک سکه سالم چقدر است ؟
حل :
مثال : رستورانی 8 نوع خوراک ماهی ، 12 نوع خوراک گوشت و10 نوع
خوراک مرغ درست می کند . اگر مشتریان این رستوران خوراک ها را به
تصادف انتخاب کنند ، احتمال اینکه دونفر ازچهار مشتری بعدی خوراک
ماهی سفارش دهند چقدر است ؟
حل :
با توجه به اینکه میانگین برنولی برابر p می باشد ، بنابراین در توزیع
دوجمله ای داریم :
به همین ترتیب واریانس در توزیع دوجمله ای برابر است با :
مثال : تابع مولد گشتاورها را در توزیع دوجمله ای محاسبه کنید .
حل :
با استفاده از بسط دوجمله ای نتیجه می گیریم : و
توزیع هندسی
اگر دنباله ای از آزمایش های برنولی با احتمال موفقیت p را آنقدر
انجام دهیم تا به اولین پیروزی برسیم در اینصورت متغیر تصادفی X
وابسته به این آزمایش را گوییم دارای توزیع هندسی است .
فرمول : فرض می کنیم شکست را با F و موفقیت را با S نشان دهیم.
به عنوان یک حالت ساده فرض می کنیم آزمایش را 4 بار انجام داده
باشیم به طوری که احتمال موفقیت p باشد و در مرحله چهارم به اولین
موفقیت رسیده باشیم ، بنابراین داریم : FFFS
در اینصورت اگر X تعداد شکست ها تا اولین پیروزی باشد داریم “
به طور کلی فرض می کنیم آزمایش X+1 بار انجام شود .(p) در اینصورت p(X=x) برابر است با :
در این صورت گوییم X دارای توزیع هندسی است .
مثال : در پرتاب یک تاس سالم احتمال آن که نخستین پیروزی در آزمایش ششم رخ دهد ، برابر است با :
تذکر : گاهی اوقات تابع احتمال هندسی را به صورت زیر تعریف می کنیم :
در این فرمول x تعداد امتحان ها است تا به اولین پیروزی برسیم .
مثال : اگر احتمال قبولی در یک امتحان رانندگی که شخصی هر
بار شرکت میکند 75% باشد ، احتمال اینکه این شخص سرانجام
در چهارمین بار قبول شود ، چند است ؟
حل :
در توزیع هندسی میانگین و واریانس به ترتیب عبارتند از :
توزیع دوجمله ای منفی
اینک فرض می کنیم تعداد امتحان هایی را درنظربگیریم که برای
آن k پیروزی رخ می دهد. دراین صورت شماره امتحانی که k امین
پیروزی در آن رخ می دهد دارای توزیعی به نام توزیع دوجمله ای
منفی است .
تعریف :
گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع دوجمله ای منفی است هرگاه
تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :
دانلود پاورپوینت بررسی آمار توصیفی وارائه داده هاواحتمال و ارزیابی متغیر های تصادفی و توزیع آنها ومعرفی چند توزیع احتمال گسسته وپیوسته
آمار و احتمال مهندسی
به محض آنکه k=1 شود ، توزیع دوجمله ای منفی به توزیع
هندسی تبدیل می شود .
نتیجه : میانگین و واریانس دوجمله ای منفی عبارتست از :
مثال : اگر شخصی در معرض ابتلا به یک بیماری مسری قرار
داشته باشد ، با احتمال 40% به آن دچار می شود . احتمال اینکه
10 امین شخص در معرض بیماری سومین شخصی باشد که به آن
مبتلا می شود ، چقدر است ؟
حل :
توزیع فوق هندسی
مقدمه :
حالتی را در نظر می گیریم که از جامعه ای با دو حالت ( موفقیت و
شکست ) نمونه ای تصادفی بدون جایگذاری داشته باشیم .
فرض می کنیم از جامعه ای با اندازه N با دو حالت موفقیت ( سالم
بودن ) و شکست ( معیوب بودن ) داشته باشیم .
از این جامعه نمونه ای به اندازه n انتخاب می کنیم .
فرض می کنیم در این نمونه : x تا از نوع k و بقیه n-x از نوع N-k
می باشند
هدف : p(X=x) = ?
در اینصورت می گوییم X دارای توزیع فوق هندسی است .
فرمول : x تا از k تا به صورت انتخاب می شود .
به دنبال آن n-x تا از N-k تا به صورت انتخاب می شود و
انتخاب کل عبارتست از :
بنا به تعریف :
در این صورت تعریف زیر را داریم :
گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع فوق هندسی است هرگاه تابع
احتمال آن به صورت زیر باشد :
می توانیم ثابت کنیم f(x) تعریف شده دربالاواقعا یک تابع احتمال است
و برای این منظور از فرمول زیر می توانیم استفاده کنیم :
مثال : فرض می کنیم از جعبه ای شامل 6 لامپ که 3 تای آن ها سوخته
است ، 4 لامپ به تصادف و بدون جایگذاری انتخاب می کنیم احتمال
اینکه بین این 4 لامپ ، 2 لامپ سوخته وجود داشته باشد چقدر است ؟
حل :
توزیع پواسون ( تقریبی برای توزیع دوجمله ای )
در توزیع دوجمله ای وقتی n بزرگ باشد وp کوچک باشد
وnp برابر مقدار ثابتی به نام باشد ، آنگاه توزیع دوجمله ای
به سمت توزیعی به نام توزیع پواسون با پارامتر میل خواهد کرد؛ که
آن را با نشان می دهیم .
بنابراین :
تعریف : گوییم متغیر تصادفی X دارای توزیع پواسون با پارامتر است اگر تابع احتمال آن به صورت زیر باشد :
ثابت می کنیم f(x) بالا واقعا یک تابع احتمال است .
میانگین و واریانس :
با استفاده ازفرمولهای توزیع دوجمله ای ، میتوانیم میانگین و واریانس پواسون را به صورت زیر محاسبه کنیم :
پواسون تنها توزیع آماری است که میانگین و واریانس آن با هم برابرند .
مثال : متوسط تعداد تلفن هایی که اشتباها به یک اداره بزرگ می شود در
طول یک هفته هفت مورد است . مطلوب است احتمال اینکه :
الف ) فردا 2 تلفن اشتباه وجود داشته باشد .
ب) حداقل یک تلفن اشتباه وجود داشته باشد .
حل :
فرض می کنیم هر روز تلفن های زیادی به این اداره زده می شود .
x تعداد افرادی می باشد که به طور اشتباهی تلفن می زنند .
در این صورت می توانیم فرض کنیم x تقریبا دارای توزیع پواسون
است .
الف )
ب )
مثال : فرض کنید در هر 3 صفحه از کتابی به طور متوسط یک اشتباه
چاپی وجود دارد . اگر فرض کنیم تعداد اشتباهات چاپی در هر صفحه
یک متغیر تصادفی پواسون باشد ، مطلوب است احتمال اینکه در یک
صفحه از این کتاب حداقل یک اشتباه پیدا شود .
حل :
حالت پیوسته
در حالت پیوسته ( وقتی x متغیر تصادفی پیوسته باشد ) احتمالات تابعی
به نام تابع چگالی احتمال را جزء فرض خود قرار می دهند به طوری که :
f(x) را تابع چگالی احتمال می نامیم .(P.U.f)
نتیجه : تابعی مانند f(x) وقتی می تواند تابع چگالی احتمال باشد که :
مسئله مهم : فرض میکنیم تابع چگالی احتمال x عبارت است از (pdf)
اولا : k را تعیین کنید . ثانیا :
حل :
چون بنابر این بایدk>=0 باشد پس با شروع می کنیم :
نتیجه :
تابع توزیع
داریم :
از رابطه بنا به قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم :
داریم :
بنا به تعریف تابع توزیع داریم :
نتیجه : با توجه به اینکه p(x=a) صفر است می توانیم همواره بنویسیم :
مسئله : در مثال قبل تابع توزیع را محاسبه کرده و بر اساس آن احتمال را محاسبه کنید .
حل :
امید ریاضی
تعریف : فرض می کنیم X متغیر تصادفی پیوسته با تابع چگالی
احتمال f(x) و U(x) تابعی از X باشد . . امید ریاضی U(x) در
صورت وجود عبارت است از :
1. : امید ریاضی آن را میانگین می نامیم .
2. : امید ریاضی آن را واریانس X می نامیم . ( واریانس توزیع )
در محاسبات ، واریانس به صورت زیر محاسبه می شود :
نتیجه 1 : انحراف معیار :
نتیجه 2 :
مثال : فرض می کنیم متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است :
میانگین و واریانس X را محاسبه کنید .
حل :
3. گشتاور مرتبه r ام
الف) حول مبدا : در صورت وجود عبارت است از :
نتیجه :
مسئله : با فرض اینکه تابع چگالی احتمال X به صورت زیر باشد : اولا
گشتاور مرتبه r ام را محاسبه کنید . ثانیا با استفاده از فرمول بدست آمده
امید ریاضی را محاسبه کنید .
حل :
ب) گشتاور مرتبهr ام حول میانگین :
نتیجه :
4. تابع مولد گشتاورها
با استفاده از این تابع و محاسبه مشتقات مراتب مختلف در نقطه t=0
می توانیم گشتاورهای هر مرتبه را تولید کنیم . به طور کلی داریم :
گشتاور مرتبه r ام در (t=0) =
مثال 1 : گشتاور مرتبه اول را بدست آورید .
حل :
مثال 2 : فرمول واریانس بر حسب تابع مولد گشتاور ؟
حل :
مثال 3 : فرض می کنیم تابع چگالی احتمال X عبارتست از :
مطلوبست محاسبه تابع مولد گشتاورهای X ؟
حل :
تمرین : مدت زمان لازم برای سفارش و تحویل یک غذای خاص
متغیری است تصادفی با تابع چگالی احتمال :
الف. میانگین و انحراف معیار مدت زمان لازم برای تحویل این غذا
را حساب کنید .
ب. فرض کنید زمان لازم برای طبخ این غذا 12 دقیقه باشد . میانگین
و انحراف معیار مدت زمان تحویل این غذا را تعیین کنید .
کاربردهایی از میانگی
